Фамилия Торгайкина — женская форма фамилии Торгайкин, и её происхождение напрямую связано с основой Торгайка. Разберёмся, что это за основа и откуда она взялась.

Первое, что бросается в глаза — суффикс -к- в сочетании с -ин. В русских фамилиях суффикс -ин обычно указывает на принадлежность: чей? — Торгайкин, то есть сын или потомок Торгайки. А вот -к- в основе — типичный уменьшительный или прозвищный суффикс, как в именах Ванька, Митька. Значит, Торгайка — это не полное имя, а скорее прозвище или уменьшительная форма от какого-то более старого имени или слова.

Корень «торг» здесь очевиден. Он отсылает к торговле, рынку, купле-продаже. В древнерусском языке «торг» означал и место торговли, и сам процесс, а «торгай» или «торгайка» могло быть прозвищем человека, который постоянно торгуется, занимается мелкой торговлей, или, возможно, того, кто ведёт себя шумно и суетливо, как на базаре. В ономастике известны фамилии типа Торгашов, Торговкин, Торгашин — все они образованы от той же смысловой группы. Торгайкина стоит в этом ряду, но с характерным уменьшительным оттенком: не просто «торгаш», а скорее «торгашка» — возможно, так в быту называли бойкого, активного человека, который не упускает выгоды.

Региональная привязка фамилии прослеживается слабо, но по встречаемости она характерна для Поволжья и некоторых областей Центральной России. В документах XVIII–XIX веков фамилия Торгайкин (и женская форма) фиксируется в основном среди крестьян и мещан — то есть это не дворянская, а народная фамилия, возникшая из прозвища.

Есть и вторая, менее очевидная версия: основа «торгай» могла быть тюркским заимствованием. В тюркских языках есть слово «торгай» — воробей, мелкая птица. Если так, то фамилия могла возникнуть у человека с прозвищем Торгай (Воробей), а суффикс -ка придал бы ему уменьшительно-ласкательное звучание. Но эта версия слабее, так как для русской ономастики более естественно объяснение через «торг» — корень, который лежит на поверхности и активно использовался в прозвищах.

Таким образом, Торгайкина — фамилия, образованная от прозвища Торгайка, которое, скорее всего, дали человеку, связанному с торговлей или обладающему торгашеским складом характера. Это не громкая фамилия, а скромная, бытовая, из тех, что несли в себе живую народную речь.