Фамилия Триьбашевская — редкий случай, где написание сразу бросается в глаза. Мягкий знак после «р» в корне «Триьб-» — орфографическая аномалия для русских фамилий. Скорее всего, мы имеем дело с искажением при записи в паспортном столе или переписью, и исходная форма была «Триб-» или «Трыб-». Вторая версия — фамилия белорусского происхождения, где мягкий знак мог передавать особенность произношения (цоканье или шепелявость), но это менее вероятно, так как суффикс «-шевская» указывает на польское или западнорусское влияние.

Основа фамилии — «Трибаш» или «Трибаш». В польском языке слово «trąba» означает «труба», но также и «разиня, простофиля». Отсюда прозвище Трибаш (с переходом «ą» в «у» или «ы») могло получить человек с громким голосом или, наоборот, нерасторопный. В украинских говорах «трибати» — шуметь, греметь, поэтому прозвище могло закрепиться за сварливым человеком. Модель образования типична для шляхетских фамилий: прозвище + суффикс «-шевский» (вариант «-ский» с наращением «-ев-» после шипящего). То есть Триьбашевский — тот, кто происходит от Трибаша.

Суффикс «-шевская» характерен для западнорусских земель (современные Беларусь, Смоленщина, Брянщина). Там ойконимические фамилии на «-ский» часто давали по названию усадьбы или местечка. Если существовал хутор Трибаши или Трибашево (от фамилии владельца), то потомки стали Триьбашевскими. Но в официальных реестрах такой топоним не зафиксирован, что делает версию прозвища более надёжной.

Сословно фамилия не указывает на дворянство: в России «-ский» не гарантировал знатность, особенно в XIX веке, когда эту модель массово присваивали духовенству и мещанам. Если предки были священниками, фамилию могли дать по названию прихода, но корень «Триб-» не встречается в церковной ономастике. Скорее всего, это фамилия крестьян или однодворцев, переселившихся из западных губерний.

В современной России фамилия встречается единично, в основном в центральных регионах. Поиск по базам данных показывает не более десятка носителей. Вариант написания с мягким знаком делает её уникальной даже среди редких фамилий — это не ошибка, а исторический артефакт, который стоит сохранять в нынешнем виде.