Фамилия Трофиомав — один из тех редких случаев, когда написание настолько нестандартно, что это, скорее всего, ошибка записи или позднее искажение. В русском языке нет суффикса -омав, и слово не складывается в привычную модель. Скорее всего, перед нами испорченный вариант фамилии Трофимов, которая, в свою очередь, происходит от крестильного имени Трофим (греч. trophimos — «кормилец», «питомец»). Ошибка могла возникнуть при переписи: кто-то на слух записал «Трофиомав» вместо «Трофимов», или же в документе слиплись буквы «о» и «в» в нечитаемый знак, который потом воспроизвели как «омав». Других версий у этой формы нет — ни географической привязки, ни исторических носителей под таким написанием в известных ономастических справочниках не зафиксировано.

Если же вернуться к исходной фамилии Трофимов, то её носители — потомки человека по имени Трофим. Фамилия образована по стандартной патронимической модели: к основе имени добавили суффикс -ов, означающий «сын Трофима» или «принадлежащий Трофиму». В крестьянской среде, где фамилии часто давали по отцу, это было самым распространённым способом. Имя Трофим было популярно в дореволюционной России, особенно в простонародье, поэтому фамилия Трофимов встречается повсеместно, без узкой региональной привязки.

Так что, если ваша фамилия пишется именно как Трофиомав, есть смысл проверить архивные документы или старые метрические книги: вероятно, в них она значится как Трофимов, а нынешняя форма — результат описки писаря. В любом случае, основа у неё та же: предок носил имя Трофим, что по-гречески означало «вскормленный» или «сытый», и это имя давали в надежде на достаток в доме.