Фамилия Цавахидис — греческая по происхождению, и её разумнее всего рассматривать в контексте греческой ономастики, а не русской. В России или странах бывшего СССР она могла появиться вместе с переселенцами из Понта (понтийскими греками) или другими волнами греческой миграции.

Основа фамилии — «цава́х» (τσαβάχ). В греческом языке, особенно в понтийском диалекте, это слово имеет значение «смелый», «отважный», «дерзкий». Соответственно, прозвище Цавахис давали человеку с бойким, решительным характером, возможно, задире или тому, кто не боялся рисковать. Формант «-идис» (или «-иди») — один из самых распространённых патронимических суффиксов в новогреческом языке. Он означает «сын» или «потомок». Таким образом, Цавахидис буквально переводится как «сын отважного» или «потомок Цавахиса».

Модель образования здесь типична для греческих фамилий, которые массово закреплялись в XIX — начале XX века. Суффикс «-идис» особенно характерен для Малой Азии и Понта, тогда как в материковой Греции чаще встречается «-пулос» (сын) или «-у» (родительный падеж). Если ваши предки носили фамилию Цавахидис, велика вероятность, что их корни — в исторической области Понт (северо-восток современной Турции, побережье Чёрного моря), откуда после 1923 года (обмен населением между Грецией и Турцией) многие греки переселились в Грецию, а оттуда — в СССР.

В русском языке фамилия сохранила греческое окончание, не адаптировавшись под типичные русские суффиксы (-ов, -ев, -ин). Это отличает её от, скажем, фамилии Цавахов, которая могла бы возникнуть при русификации. Ударение, скорее всего, падает на предпоследний слог — Цавахи́дис, как это свойственно греческим фамилиям на «-идис».

О сословной принадлежности носителей фамилии сказать ничего определённого нельзя: греческие фамилии такого типа не были дворянскими, они закреплялись за крестьянами, ремесленниками, торговцами. Единственное, что можно утверждать с уверенностью: предок носителя фамилии был известен в своей общине как «Цавахис» — человек с крутым нравом или отважный воин.