Фамилия Цувкын — редкий случай, когда написание почти полностью отражает произношение, и это сразу подсказывает направление поиска. Скорее всего, перед нами не русская фамилия в классическом понимании, а русифицированная запись фамилии из языков народов Северного Кавказа или Закавказья. В русском языке нет корня «цувк-» и суффикса «-ын», который образовывал бы притяжательные прилагательные от основ на твердый согласный (как в фамилиях Пушкин, Ильин). Здесь «-ын» — это просто способ передать на письме окончание, которое в языке-источнике могло быть другим.

Основа «Цувк» (или «Цувкь») с высокой вероятностью восходит к адыгским, чеченским или дагестанским языкам. В адыгских языках, например, есть корень «цу» или «цуу», связанный с понятием «бык» или «вол», а также форманты, обозначающие принадлежность. В чеченском языке встречаются фамилии на «-кан» или «-кхин», которые при адаптации могли редуцироваться до «-кын». Таким образом, Цувкын могло означать «принадлежащий к роду Цувка» или «сын Цувка», где Цувк — личное имя или прозвище. Такое прозвище могли дать человеку за силу, упрямство или внешнее сходство с быком.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где распространены фамилии с конечным «-ов» и «-ев», но с заметным влиянием местных языков: Кабардино-Балкария, Карачаево-Черкесия, Адыгея, а также Чечня и Ингушетия. Встречается она крайне редко, что говорит о том, что род мог быть немногочисленным или фамилия претерпела сильное изменение при записи в метрические книги. Возможно, исходная форма была длиннее, например, Цувкоков или Цувкиев, но при переписях или миграции запись упростили.

Другая, менее вероятная версия — искусственное происхождение фамилии в советское время, когда представители малых народов получали паспорта с произвольной записью со слов. Но для этого случая характерны более простые конструкции, а Цувкын имеет узнаваемую кавказскую фонетику. В любом случае, фамилия не имеет отношения к славянским корням и не является переосмыслением какого-либо русского слова или прозвища.