Фамилия Цйук — редкий случай в русской ономастике, и её происхождение почти наверняка не связано с исконно славянскими корнями. Скорее всего, перед нами фамилия, записанная на слух или пришедшая из языков, где сочетание «цй» встречается чаще, например, из украинского, белорусского или польского. В русском языке такое начало слова нетипично, а сама фамилия звучит как сокращённая или искажённая форма.

В основе фамилии лежит прозвище или имя, которое могло восходить к слову «цук» или «цука». В южнорусских и украинских говорах «цук» — это диалектное название сахара (от немецкого Zucker). Так могли прозвать кондитера, торговца сладостями или просто человека, любившего сладкое. Другой вариант: «цук» в польском и украинском означает «птенец» или «щенок» — такое прозвище давали младшему в семье, невысокому или вертлявому человеку. Суффикса -ов или -ин в фамилии нет, что указывает на её возможное западное или южное происхождение: в украинской и белорусской традиции фамилии без суффикса (так называемые «чистые» основы) не редкость.

Фамилия могла возникнуть и как результат описки или переосмысления. При переписи населения малограмотный писарь мог записать «Цук» или «Цюк» как Цйук, особенно если носитель говорил с характерным диалектным произношением. Географически фамилия встречается единично, в основном на западе России и в восточных областях Украины, но точных данных о её распространении мало — это одна из тех фамилий, что почти не попали в массовые списки.

Таким образом, носитель фамилии Цйук, скорее всего, потомок выходца из западнорусских или украинских земель, чей предок получил прозвище по роду занятий (сладкое дело) или по внешности (маленький, юркий). Из-за редкости фамилии точную версию можно установить только по семейным преданиям или архивным записям в конкретном регионе.