Фамилия Тумэнгийн — это не русская фамилия, а монгольская, и её разбор требует выхода за рамки привычной славянской ономастики. Если вы встретили её в России, то почти наверняка перед вами фамилия человека монгольского или бурятского происхождения, а её структура подчиняется законам монгольского языка, а не русского.

Словообразовательная модель здесь принципиально иная. В монгольской традиции фамилия — это относительно недавнее явление, часто образованное от имени отца или рода. Основа «Тумэн» в монгольском языке означает «десять тысяч», «тьма» (в значении «множество»), но в именах и фамилиях она чаще всего отсылает к историческому титулу или личному имени. В средневековой Монголии «тумэн» — это крупное военно-административное подразделение, своего рода «дивизия» из десяти тысяч воинов. Человек по имени Тумэн мог быть либо назван в честь этого понятия (как пожелание силы и многочисленного потомства), либо сам происходил из знатного рода, связанного с командованием таким отрядом.

Суффикс «-гийн» — это родительный падеж в монгольском языке, аналог русского окончания родительного падежа. Буквально «Тумэнгийн» переводится как «принадлежащий Тумэну», «из рода Тумэна» или «сын Тумэна». То есть это не фамилия в привычном для нас западном смысле, а отчество или родовое имя, закреплённое в качестве фамилии. В Монголии такая система стала массовой только в XX веке, поэтому носитель фамилии Тумэнгийн — это человек, чей предок (скорее всего, дед или прадед) носил имя Тумэн.

Географически фамилия Тумэнгийн чаще всего встречается в самой Монголии и среди бурятского населения России (Бурятия, Иркутская область, Забайкалье). В русском контексте её могли записать без изменений, так как монгольские фамилии не русифицируются суффиксами -ов или -ев — они остаются в исходной грамматической форме. Если бы фамилия адаптировалась по русской модели, она могла бы звучать как Тумэнов, но исторически этого не произошло.

Интересная деталь: в отличие от русских фамилий, где суффикс указывает на принадлежность отцу (Иванов — сын Ивана), монгольский суффикс «-гийн» выполняет ту же функцию, но при этом сама фамилия остаётся «застывшей» в падеже. Это делает её похожей на скандинавские фамилии с окончанием -sen (Андерсен — сын Андерса), только в монгольском варианте. Так что предки носителя фамилии Тумэнгийн, скорее всего, были воинами или скотоводами, а само имя Тумэн могло быть дано в честь военной мощи или просто как пожелание долгой и многолюдной жизни.