Фамилия Турбаивський — украинская по происхождению, и её разумнее всего анализировать, отталкиваясь от суффикса и географической привязки. Суффикс -ськ(ий) в украинских фамилиях указывает на связь с местностью: такую фамилию обычно получал человек, который жил в определённом селе или владел им, либо переселился оттуда. В русском языке этот суффикс даёт окончание -ский, но в украинском написании через «и» (Турбаівський) — это норма для фамилий, образованных от топонимов.

Основа фамилии — Турбаів, то есть название населённого пункта. Скорее всего, речь идёт о селе Турбаї або Турбаівка. Такие названия встречаются в центральной Украине, например, в Полтавской или Черкасской областях. Само слово «турба» в украинском языке имеет несколько значений: это может быть «тревога», «беспокойство» (от польского turbacja), но в контексте топонима чаще связывают с диалектным «турба» — «толпа», «суета», или даже с тюркским корнем, обозначающим «стоянку», «лагерь». Однако для фамилии важнее не точное значение слова, а то, что она указывает на выходца из конкретного места: «Турбаівський» — тот, кто из Турбаева.

Словообразовательная модель проста: к названию села Турбаі (или Турба) добавили суффикс -івськ-, который образует притяжательное прилагательное, а затем оформили как фамилию. В украинской ономастике это типичный пример «топонимической» фамилии, распространённой среди казацкой старшины, мещан и крестьян. В отличие от фамилий на -енко или -ук, которые чаще встречаются у простых людей, фамилии на -ський в Украине могли носить как шляхтичи, так и зажиточные казаки, но без точных записей о сословии предков утверждать что-то конкретное нельзя.

Есть редкий нюанс: написание через «и» после «в» (Турбаивський, а не Турбаевский) — это чисто украинская орфографическая норма, которая сохранилась в документах XIX — начала XX века. В современных российских базах такую фамилию могут записать как Турбаевский, но исходно она звучала именно с «и». Если вы ищете корни, стоит проверить метрические книги Полтавской губернии — там могли быть записи о переселенцах из села Турбаи или о людях, получивших фамилию по месту жительства.

Фамилия не очень распространённая, и её носители, скорее всего, сосредоточены в центральной Украине. Встретить её в русскоязычных регионах — редкость, что подтверждает её локальный характер. Никаких известных исторических личностей с такой фамилией нет, поэтому основная ценность для её обладателя — в географической привязке к конкретному селу, которое можно попытаться найти на старых картах.