Фамилия Тваури — нечастый гость в русском ономастиконе, и её происхождение почти наверняка не связано с исконно славянскими корнями. Чтобы понять, откуда она взялась, нужно смотреть в сторону Кавказа, а точнее — Грузии. Основа фамилии, «Тваури», скорее всего, восходит к грузинскому слову «тва» (თვა), что означает «олень». Соответственно, Тваури — это «олений» или «принадлежащий оленю». Такая модель образования типична для грузинских фамилий, где суффикс «-ури» (как в фамилиях Гуриели, Чхеидзе, Орбелиани) указывает на принадлежность к роду, местности или отличительному признаку предка.

Вероятнее всего, прозвище Тваури дали человеку, который имел какое-то отношение к оленям: был искусным охотником, пастухом, либо отличался быстротой, грацией или, напротив, упрямством, сравнимым с этим животным. В горных районах Грузии, где охота на оленя была делом чести и промыслом, такое прозвище могло стать родовым именем. Альтернативная, но менее убедительная версия связывает фамилию с топонимом: возможно, предки жили в местности, где водилось много оленей, или в селе с похожим названием.

С точки зрения словообразования, фамилия Тваури стоит особняком в русском списке. В ней нет типичных русских суффиксов (-ов, -ин, -ский), что сразу указывает на её заимствованный характер. В русском языке фамилия, как правило, не склоняется (кроме случаев, когда принадлежит мужчине грузинского происхождения и оканчивается на -и, -у — тогда она может склоняться по правилам грузинского языка, но в русской бытовой речи чаще остаётся неизменной). В отличие от, скажем, фамилии Оленев, которая образована от того же животного, но по славянской модели (отчество от прозвища Олень), Тваури сохраняет чужеродную форму, что делает её ярким маркером грузинских корней.

Носители фамилии Тваури в России — это, скорее всего, потомки грузинских переселенцев, которые могли оказаться в империи после вхождения Грузии в состав Российской империи в XIX веке. Встретить её можно в среде грузинской диаспоры, а также в регионах, куда исторически мигрировали жители Кавказа — например, на Кубани или в Ставрополье. О дворянском происхождении фамилии ничего определённого сказать нельзя: в Грузии существовали как княжеские роды (с фамилиями на -дзе, -швили, -ели), так и простые крестьянские, и Тваури могла принадлежать к любой из этих категорий.