Фамилия Укыоыоук с высокой вероятностью является искусственной или возникла в результате ошибки при записи. В ней нет ни одного из типичных для русских фамилий суффиксов (-ов, -ев, -ин, -ский, -их, -ых), а корень «укыоыо» не соответствует ни одному известному слову в русском, украинском, белорусском или тюркских языках. Скорее всего, перед нами опечатка, неудачная транслитерация или намеренное конструирование фамилии в XX веке (например, в советское время, когда люди могли менять фамилии по собственному желанию, иногда выбирая необычные сочетания букв).

Если исходить из того, что фамилия всё же реальна и не является ошибкой, её можно попытаться разобрать по звучанию. Гласная «ы» встречается в тюркских языках, но повтор «ыоыо» нетипичен даже для них. Возможно, исходная фамилия была записана латиницей (например, Ukyoyouk) и при переносе в кириллицу буквы исказились. В таком случае прототипом могла быть фамилия типа Укюк (от тюркского «ук» — стрела) или Оюк (от тюркского «ойук» — узор, резьба), но это лишь догадки.

Ни в одном доступном ономастическом словаре (Унбегауна, Никонова, Веселовского) эта фамилия не зафиксирована. Поиск по базам данных показывает единичные случаи её бытования, скорее всего, в одной семье. Это значит, что фамилия не имеет устоявшейся этимологии, и её происхождение можно установить только через семейные архивы или устную историю.

Если вы носитель этой фамилии, попробуйте проверить старые документы: метрики, паспорта начала XX века, списки раскулаченных или репрессированных. Возможно, исходная фамилия писалась иначе (например, Укыков, Укюков, Оюков), а современный вариант — результат ошибки паспортистки. Без такой проверки любое объяснение будет лишь гипотезой.