Фамилия Ундурбай звучит непривычно для русского уха, и это подсказка: её корни, скорее всего, не славянские, а тюркские или монгольские. В таком случае она не прошла через типичную для России модель «имя + суффикс принадлежности» (как Иванов или Петров), а сохранилась в исходной форме — как личное имя, ставшее фамилией. Это характерно для народов, где фамилии появились поздно или закреплялись через запись в документах без переделки.

Разложим имя на части. Первая основа — «ундур» (или «өндөр» в монгольском написании) означает «высокий», «возвышенный». Вторая — «бай»: в тюркских языках это «богатый», «господин», «хозяин», а в монгольских — «богатырь», «крепкий», «стоящий». Вместе Ундурбай — это составное имя-пожелание, которое можно перевести как «высокий господин», «великий богатырь» или «возвышенный и крепкий». Такие имена давали мальчикам, чтобы они выросли сильными и уважаемыми.

Географически фамилия скорее всего ведет в Бурятию, Калмыкию или Монголию. В бурятской ономастике имена с компонентом «бай» очень распространены (например, Бато-Баир, Доржи-Бай), а «ундэр» — частый эпитет. Ундурбай мог быть именем основателя рода, и при переходе в русскую паспортную систему его просто записали как есть, без суффиксов. Встречается фамилия и у тувинцев, и у алтайцев, но реже.

Интересная деталь: в русском языке фамилия не склоняется по падежам, если принадлежит мужчине (Иван Ундурбай), и склоняется, если женщине (Марии Ундурбай). Это типично для заимствованных фамилий на согласный. В самой Монголии Ундурбай — скорее имя, а не фамилия, потому что у монголов до недавнего времени фамилий в нашем понимании не было, а были родовые имена, которые сейчас постепенно вводят. Так что носитель фамилии Ундурбай в России — почти наверняка потомок бурятского или калмыцкого рода, чей предок носил звучное имя-пожелание высоты и силы.