Фамилия Унгвари — редкий случай в русском ономастиконе, потому что её происхождение не славянское, а венгерское. Она образована от названия города Унгвар (венг. Ungvár) — так до 1944 года назывался украинский Ужгород. Венгерский суффикс -и указывает на принадлежность к месту: Унгвари — буквально «из Унгвара» или «уроженец Унгвара». По-русски такую модель называют «топонимической фамилией», когда человека прозывали по тому городу, откуда он пришёл или где жил.

В Российской империи носители фамилии Унгвари встречались в основном в западных губерниях, особенно на Волыни и в Подолье, куда в разное время переселялись венгры-ремесленники и военные. Документы XIX века фиксируют единичные случаи: например, в метрических книгах Киевской губернии попадаются мещане и отставные солдаты с этой фамилией. Многие из них уже к тому времени обрусели, но сохранили венгерское написание.

С точки зрения словообразования фамилия стоит особняком. В русском языке нет продуктивных суффиксов, которые бы образовывали фамилии от топонимов на -и, поэтому Унгвари не склоняется по падежам как типичная русская фамилия. Это сближает её с польскими фамилиями вроде Замойский или Чарторыйский, но венгерская основа всё же отличает её от славянского ареала.

Есть и другая, менее вероятная версия: что фамилия происходит от прозвища Унгвар — так могли называть человека, который побывал в Закарпатье или торговал с венграми. Однако в пользу топонимического происхождения говорит именно суффикс -и: в Венгрии он был стандартным способом указать на место рождения, и фамилии на -и массово возникали именно по названиям городов и деревень.

Сегодня фамилия Унгвари остаётся редкой даже на Украине, а в России встречается буквально единично. Её носители, скорее всего, потомки тех венгров, кто осел на восточнославянских землях в XVIII–XIX веках.