Фамилия Унюшкин — редкая и неочевидная. Её основа не лежит на поверхности, и здесь есть над чем задуматься. Первое, что приходит в голову — связь с диалектным словом «уня» или «унь». В некоторых русских говорах «уня» означала «унылый человек», «тихоня», «плакса». Прозвище Уня могли дать ребенку, который часто хныкал, или взрослому с меланхоличным, печальным нравом. От такого прозвища по стандартной модели с суффиксом -кин и появился Унюшкин.

Но есть и вторая, более спорная, версия. Она уводит в финно-угорский субстрат русского севера. В карельском и вепсском языках есть корень «un» — сон, сновидение. Вполне возможно, что прозвище Уня могло означать «соня», «любитель поспать». Северные территории России (Вологодчина, Архангельская область) — зона активного смешения славянских и финно-угорских именований. Если ваши предки оттуда, эта версия не менее правдоподобна, чем первая.

Суффикс -кин указывает на принадлежность: «чей сын?» — Унюшкин, то есть сын Унюшки. Форма «Унюшка» — уменьшительно-ласкательная от того же прозвища Уня. Такое словообразование характерно для северных и центральных областей России, где фамилии на -ин и -кин особенно распространены.

В официальных документах фамилия могла писаться с «а» — Уняшкин, но закрепился вариант через «ю». Встречается она крайне редко. Судя по расселению, основные очаги — Ивановская и Нижегородская области, что косвенно подтверждает диалектную, а не иноязычную природу прозвища.

Так что, скорее всего, ваш предок получил прозвище за характер — за тихость, грусть или, наоборот, за любовь поспать. В любом случае, это фамилия, которая звучит нешаблонно и хранит в себе живое, пусть и устаревшее, слово.