Фамилия Узаиоыт — исключительно редкий случай в русской ономастике. Она не фиксируется ни в одном из известных словарей русских фамилий (Унбегаун, Никонов, Веселовский), что сразу указывает на её неестественное, искусственное происхождение. Скорее всего, это не историческая фамилия, а результат опечатки, канцелярской ошибки или намеренного искажения при переписи. В русском языке нет корней, суффиксов или окончаний, из которых можно было бы сложить такое сочетание букв. Фонетически она чужда славянской речи — скопление гласных и конечное «ыт» нетипично.

Наиболее вероятное объяснение — это искажённая запись фамилии тюркского или кавказского происхождения. Например, фамилия Узаиров (от имени Узаир, арабская форма библейского Ездры) могла быть записана неразборчиво, а затем прочитана как Узаиоыт. Другой вариант — фамилия Узаиов (с суффиксом -ов) с последующей порчей окончания. В любом случае, исходная форма, скорее всего, заканчивалась на -ов, -ев или -ин, а «оыт» — это графический брак.

Если ваши предки носили именно такое написание, стоит проверить архивные документы (ревизские сказки, метрические книги) первой половины XX века. Там, вероятно, обнаружится исходный вариант, от которого отпочковалась эта запись. Причина появления «Узаиоыт» может быть банальной: писарь на слух записал фамилию, а другой чиновник при переписи ошибся. Искать этимологию в самом сочетании «узаиоыт» бессмысленно — это не слово, а случайный набор букв, за которым стоит реальная, но утраченная фамилия.