Фамилия Узойкин — одна из тех, где корень почти стёрт, а суффикс указывает на конкретную модель образования. Она звучит редко, и в этом её главная особенность: перед нами не массовая фамилия, а локальное прозвище, закрепившееся в роду.

Словообразовательный разбор прост: основа «Узойк-» плюс типичный русский суффикс принадлежности -ин. Суффикс -ин в фамилиях обычно означает «чей?», «сын кого?»: Узойкин — буквально «сын Узойки». А вот что такое «Узойка» — вопрос. Скорее всего, это уменьшительная форма от прозвища или некалендарного имени Узой. В диалектах русского языка слово «узой» или «узкий» могло относиться к человеку худощавому, узкому в плечах, либо к тому, кто живёт в тесном месте — например, в узком переулке или на узкой полосе земли. Есть и другая версия: в некоторых говорах «узой» означало «теснина», «узкий проход», и прозвище могли дать жителю такой местности.

Менее вероятно, но не исключено, что основа связана с тюркским корнем «уз» (свой, родной) — в таком случае Узойкин мог быть потомком человека, которого называли «свой», «близкий». Однако для фамилии с русским суффиксальным оформлением такая версия слабее: прозвище скорее давали по внешнему признаку или месту, чем по абстрактному качеству.

Фамилия не встречается в старых боярских или дворянских списках — это крестьянская или мещанская фамилия, образованная в XVII–XIX веках, когда в центральных и северных губерниях России активно давали прозвищные фамилии на -ин. Узойкины могли жить в Ярославской, Костромской или Вологодской областях — именно там диалектная лексика сохраняла слово «узой» в значении «узкий».

В современных справочниках фамилия редкая: носителей мало, и география их размыта. Если вы встретили Узойкина, с высокой вероятностью это потомок человека, которого в деревне прозвали Узойкой за худобу или за то, что его дом стоял в узком закоулке.