Фамилия Узвяк — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В ней нет привычного славянского суффикса -ов или -ин, что сразу указывает на особый путь образования. Скорее всего, это украинская или белорусская фамилия, где суффикс -як (или -ак) широко использовался для создания прозвищ и фамилий от разных основ. В данном случае корень «узв» — самый интересный и спорный момент.

Главная версия связывает фамилию с диалектным словом «узва» — так в некоторых южнорусских и украинских говорах называли компот из сухофруктов, взвар. Взвар был традиционным рождественским или поминальным напитком. Тогда Узвяк — это человек, который его варил, либо, в переносном смысле, любитель сладкого, «сладкоежка». Основание для этой версии — фонетическое совпадение и типичная модель: прозвище по роду занятий или привычке (сравните: Борщак — любитель или изготовитель борща, Кулебяк — от кулебяки). Это правдоподобно, так как фамилии на -як часто возникали именно из бытовых прозвищ.

Вторая, менее очевидная, но возможная версия — от глагола «узвать», что в некоторых говорах означало «узнать, распознать». В таком случае прозвище Узвяк мог получить проницательный, догадливый человек. Однако эта версия слабее: глагол «узвать» почти вышел из употребления, и фамилий с таким корнем практически нет.

Третья, экзотическая гипотеза — связь с тюркским словом «уз» (свой, родной) или «узбек» (как название народа). Но суффикс -як нехарактерен для тюркских языков в этой форме, а фамилия Узвяк не встречается в массовом порядке в регионах с тюркским населением. Поэтому эта версия маловероятна и не имеет под собой серьёзной ономастической базы.

Географически фамилия Узвяк тяготеет к западным областям Украины (Волынь, Подолье) и югу Беларуси. Встречается она крайне редко, что говорит о её локальном происхождении — возможно, от прозвища, данного одному человеку в небольшом селе, и не распространившегося широко. Социально носители такой фамилии, скорее всего, были крестьянами или мещанами, а не дворянами, так как фамилии на -як в дворянской среде не встречаются. Таким образом, предки Узвяков — это люди, получившие прозвище по какому-то яркому бытовому признаку, скорее всего, связанному с приготовлением узвара.