Фамилия Вамоши — редкий случай, когда географическое происхождение почти наверняка перевешивает все остальные версии. Скорее всего, перед нами венгерская фамилия, адаптированная русским языком. Венгерское слово «vámos» означает «таможенник» или «сборщик пошлины». Суффикс -и в венгерских фамилиях указывает на происхождение из какого-то места или принадлежность к роду. Таким образом, Вамоши — это либо «сын таможенника», либо человек из селения под названием Вамош (такие топонимы в Венгрии встречаются, например, Вамошсабади или Вамошперч).

Русское окончание -и (вместо венгерского -и, которое на самом деле тот же звук) — это просто транслитерация. Фамилия осталась без добавочного русского суффикса вроде -ов, что типично для поздних заимствований или фамилий, которые принесли в Россию переселенцы из Австро-Венгрии. Носители Вамоши в России — почти наверняка потомки венгров, словаков, русинов или евреев, живших на территории бывшей Австро-Венгерской империи и перебравшихся в Российскую империю в XIX — начале XX века.

Менее вероятная, но не исключённая версия — тюркское происхождение. В тюркских языках есть корень «вам» со значением «усталость» или «болезнь», а суффикс -ши мог бы указывать на человека, склонного к этому состоянию. Но эта гипотеза слабая: тюркские фамилии в России обычно получали русские суффиксы (-ов, -ев), а не оставляли «чистую» основу с -ши. К тому же венгерское значение («таможенник») намного конкретнее и логичнее для прозвища.

Искать фамилию в старых русских переписных книгах бесполезно: её просто не было в допетровской Руси. Вамоши — фамилия поздняя, городская, связанная с миграциями. Если ваши предки носили её в России, стоит проверить записи о переселенцах из западных губерний или из Галиции.