Фамилия Варбинек — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В русской ономастике она почти не встречается, что сразу подсказывает: корни, скорее всего, не великорусские, а западнославянские или балтийские. Самая вероятная версия — чешское или словацкое происхождение.

В чешском языке есть слово vrbina — «ивняк», «заросли ивы», а также vrba — «ива». Если добавить к этой основе уменьшительный суффикс -ek (который в чешском и словацком очень продуктивен: ср. kvítek — «цветочек»), то получится Vrbínek — «маленький ивняк» или «человек с Ивицы». Фонетически Vrbínek при передаче в русскую речь мог измениться в Варбинек: безударное «р» могло получить гласный призвук, а долгое чешское í перешло в привычное русскому уху «и». Таким образом, фамилия могла указывать на место жительства предка — у ивовых зарослей, или на прозвище по характерной особенности человека (гибкий, как ива).

Вторая, менее вероятная, но допустимая версия — немецкая. В немецком языке есть фамилия Warbinek или Warbineck, которая может быть топонимической: от названия места Варбин (Warbin) в земле Мекленбург — Передняя Померания. Суффикс -ek в этом случае — славянский след в немецкой фамилии, указывающий на выходца из этого поселения.

В пользу первой, славянской версии говорит сам суффикс -ек. Если бы фамилия была исконно русской, она оканчивалась бы на -ов или -ин (Варбинов, Варбинин). Суффикс -ек — характерный маркер западнославянской фамильной модели, особенно чешской и словацкой. Поэтому с высокой долей вероятности предок носителя фамилии Варбинек был чехом или словаком, который переселился на восток, или же фамилия была записана на слух при переезде в Российскую империю. Географически такие фамилии чаще всего встречаются в западных губерниях и у потомков переселенцев.

Таким образом, краткий ответ: Варбинек — это западнославянская фамилия, образованная от названия ивовых зарослей (vrbina) с уменьшительным суффиксом, и означающая «житель у ивняка» или «маленький ивовый куст».