Фамилия Вегши — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение стоит искать не в славянских корнях, а в языках финно-угорской группы, скорее всего, в венгерском или коми-пермяцком. Сама модель фамилии — без суффикса -ов, -ев или -ин — сразу выдаёт нерусское происхождение. В русской традиции такие «голые» фамилии обычно приносили переселенцы или крещёные инородцы, чьи прозвища не переделывали под местный грамматический строй.

Самая вероятная версия связывает Вегши с венгерским словом «vég» — «конец», «окраина». В венгерском языке суффикс -i образует прилагательные по месту жительства: «végi» — «крайний», «живущий на краю». Так могли прозвать человека, который поселился на окраине села или возле границы. Венгерские фамилии на -и (например, Надь, Ковач, Сабо) массово закрепились в Закарпатье, а оттуда вместе с переселенцами попали в центральные губернии Российской империи. Если ваши предки носили фамилию Вегши, они могли быть выходцами из Венгрии или из венгероязычных анклавов на территории современной Украины.

Менее распространённая, но тоже возможная версия — коми-пермяцкое происхождение. В языке коми «вег» означает «силок», «петля для ловли птиц», а «ши» — типичный суффикс, указывающий на принадлежность. Тогда Вегши — «относящийся к силку», то есть прозвище охотника, ставившего силки. Эта версия объясняет, почему фамилия встречается в Прикамье и на Урале, где коми-пермяцкое население издавна смешивалось с русским.

В любом случае, фамилия Вегши — не дворянская и не купеческая. Скорее всего, её носили крестьяне или ремесленники, жившие на окраинах империи. Встречается она крайне редко: по открытым данным, в России сегодня насчитывается не более нескольких десятков носителей. Если вы ищете конкретную генеалогию, лучше всего начать с переписей Закарпатской области Украины или с метрических книг Пермской губернии — именно там следы фамилии прослеживаются наиболее отчётливо.