Фамилия Веряйская — относительно редкая и почти наверняка имеет географическое, а не прозвищное происхождение. Её основа — топоним, название места, от которого образована фамилия по модели «-ский / -ская». Такие фамилии в XIX веке часто получали дворяне, духовенство или выходцы из сёл и городов, переселившиеся в другую местность.

Корень «Веряй-» отсылает к реке, селу или урочищу. Наиболее вероятная версия — связь с рекой Веряжа или с населённым пунктом Веряжа (такие есть в Новгородской и Псковской областях). В новгородских говорах «веряга» — это «верея», столб, на который навешивают ворота; отсюда же «веряй» могло означать «тот, кто делает верёи» или «живущий у верёи». Но для фамилии на «-ская» логичнее именно топонимическая привязка: человек из Веряжи, выходец из села Веряйка или с реки Веряжки.

Суффикс «-ская» указывает на принадлежность к местности или роду. В отличие от массовых фамилий на «-ов» и «-ин», такие фамилии чаще встречались среди дворянства и духовенства. Веряйские могли быть священниками, получившими фамилию по месту службы, или обедневшими дворянами, владевшими землёй в тех краях. Впрочем, в XIX веке «-ские» фамилии давали и крестьянам, переселявшимся из одной губернии в другую — так фиксировали их происхождение.

Спорный момент: иногда фамилию связывают с глаголом «верить» или с именем Вера, но это маловероятно. Форма «Веряй-» не характерна для отыменных фамилий (было бы «Верин» или «Верский»). Гораздо правдоподобнее, что мы имеем дело с вариантом написания «Веряжский» — через «ж», которое со временем могло перейти в «й» в просторечии или при записи в документах. В ономастике такие замены не редкость: звук «ж» в суффиксе «-яж-» иногда стягивался до «й» в фамилиях, особенно в северо-западных говорах.

Известных носителей фамилии немного, и в открытых источниках они почти не представлены. Это подтверждает её локальный характер: Веряйские — коренные жители определённого региона, скорее всего Новгородчины или Псковщины, где и сейчас встречаются деревни с похожими названиями. Если вы носите эту фамилию, стоит искать предков в метрических книгах именно этих губерний — там, где реки и сёла назывались Веряжа, Веряжка или Веряйка.