Фамилия Вешагури звучит для русского уха непривычно, и это не случайно: она указывает на кавказское, а точнее — грузинское происхождение. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий, образованных с помощью суффиксов -ов, -ев или -ин, Вешагури сохраняет грузинскую модель без этих окончаний. Характерный финальный элемент -ури типичен для западно-грузинских фамилий, особенно из регионов Рача, Лечхуми или Имерети, где такие окончания встречаются часто.

Основа фамилии — «веша» — восходит к грузинскому слову «веши» (ვეში), что означает «вишня». Таким образом, исходное прозвище или родовое имя Вешагури можно перевести как «вишнёвый» или «относящийся к вишне». В грузинской ономастике подобные фамилии нередко связаны с местностью, где росло много вишнёвых деревьев, или с характерным цветом чего-либо — например, тёмно-красным оттенком одежды или даже масти лошади. Вполне вероятно, что предок носителя фамилии жил в селе, известном вишнёвыми садами, или же получил прозвище за любовь к этой ягоде.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: корень «веш-», суффикс принадлежности -ур- и окончание -и, типичное для грузинских прилагательных и фамилий. По сравнению с русскими фамилиями, которые чаще указывают на отца или занятие (Иванов, Кузнецов), грузинская Вешагури тяготеет к топонимическому или описательному значению. Встретить её можно преимущественно в Грузии, а в России — среди потомков грузинских переселенцев, особенно в городах, где исторически складывались грузинские диаспоры.

Из-за редкости фамилии за её пределами в русском языке возможны варианты произношения с ударением на второй или третий слог, но в грузинском оригинале ударение, скорее всего, падает на второй слог: Ве-ша́-гу-ри. Какого-либо точного списка известных исторических деятелей с этой фамилией нет, но она сохраняет живую связь с грузинской культурой и бытом, где вишня — не просто плод, а часть пейзажа и традиционного хозяйства.