Фамилия Вевиканов — редкий случай, когда основа настолько неочевидна, что сразу наводит на мысль об искажении. Скорее всего, перед нами не первоначальная форма, а результат «народной переделки» более понятного слова. Самая вероятная версия: фамилия образована от прозвища или имени Вениамин. В русских говорах имя Вениамин (из др.-евр. «сын правой руки», то есть любимый сын) нередко произносили как Вевьямин, Вевяка, а в диалектах северных областей — через «и»: Вивиан, Вивика. От уменьшительной формы Вевяка или Вевика с помощью патронимического суффикла -ов и возник Вевиканов. Переход «я» в «и» в безударном положении — явление типичное для северо-западных и среднерусских говоров.

Менее убедительна версия, связывающая фамилию с диалектным глаголом «вевикать» — так в некоторых областях говорили о плаксивом, капризном человеке, который «вевикает», то есть ноет. Но эта лексема не зафиксирована в авторитетных словарях русских говоров как широко распространённая, поэтому версия с именем Вениамин выглядит предпочтительнее. В любом случае, суффикс -ов указывает на то, что фамилия сформировалась как «чей?» — сын или потомок Вевикана, где Вевикан — это уже разговорная форма имени.

Географически фамилия редкая и встречается в основном в центральных и северных регионах России, в частности в Вологодской и Костромской областях, где диалектные формы библейских имён были в ходу. Интересно, что в документах XIX века можно найти вариации написания: Вевиканов, Вивиканов, а иногда и Вевьянинов — что подтверждает связь с именем Вениамин. Если ваши предки были крестьянами или мещанами из этих мест, то именно они и носили это имя в его местном, «народном» звучании.