Фамилия Вэйгун — редкий случай для русского ономастикона. Она не вписывается в привычные модели русских фамилий, образованных от прозвищ, профессий или крестильных имён с помощью суффиксов -ов, -ин, -ский. Скорее всего, перед нами фамилия, восходящая к китайскому или другому восточноазиатскому языку. В китайском языке существует фамилия Вэй (Wei) — одна из древнейших, восходящая к названию царства эпохи Чжоу, и имя Вэйгун (Weigong) как сочетание фамилии и личного имени. Однако в русской записи «Вэйгун» может быть и искажённой передачей другого сочетания, например, имени с титулом «гун» (князь).

Если же попытаться найти русские корни, то напрашивается разбор по типу «Вэй» + «гун». Первая часть могла быть прозвищем от диалектного или устаревшего слова «вей» (веять, вить, или же — в северных говорах — «вейка» как небольшая река, ручей). Вторая часть, «гун», встречается в русских фамилиях как вариант суффикса -ун (сравните: бегун, шатун, говорун). Тогда Вэйгун — это «тот, кто веет» (веяльщик зерна) или «тот, кто вьёт» (верёвки, канаты). Но такое объяснение остаётся гипотетическим, так как основа «вей-» в прозвищах обычно давала фамилию Веев, а не Вэйгун.

Гораздо вероятнее, что фамилия Вэйгун — калька или транслитерация иностранной фамилии, занесённая в русскую среду через браки, миграцию или исторические контакты. В таком случае её этимология лежит за пределами славянской ономастики, и искать «ремесло» или «прозвище» предка в русском языке бессмысленно. География бытования фамилии в России, скорее всего, точечная — единичные семьи в крупных городах или на Дальнем Востоке.

Таким образом, для носителя фамилии Вэйгун наиболее правдоподобная версия — восточноазиатское происхождение, скорее всего китайское, где «Вэй» — родовое имя, а «гун» — либо часть личного имени, либо указание на знатный титул. Если же вы уверены в исконно русских корнях, придётся признать, что фамилия образована по нетипичной модели и её буквальное значение (веяльщик или витьё) реконструируется с большой натяжкой.