Фамилия Возгенчиков — редкий случай, когда неясно не только значение корня, но и то, как правильно его выделить. Первое, что бросается в глаза: суффикс -ов указывает на типичную русскую патронимическую модель («чей?» — сын Возгенчика), но сама основа «Возгенчик» звучит неестественно для русского уха. Скорее всего, перед нами не исходная форма, а уже переоформленная в бытовой речи.

Наиболее вероятная версия: Возгенчиков — это вариант или искажение фамилии Возженчиков. Если убрать «г» (а такие замены в диалектах и при переписи населения случались), основа становится прозрачной: «возжечь» — зажечь, разжечь. Тогда Возженчик — это человек, связанный с огнём: кузнец, который раздувает горн, истопник, факельщик или даже пушкарь, поджигающий фитиль. Суффиксы -чик/-щик в русских фамилиях почти всегда означают профессию или ремесло. Подтверждает эту догадку и то, что фамилии Возженников, Возжеников действительно встречаются, хоть и редко — в основном на юге и в центральной России.

Вторая гипотеза, менее убедительная, но имеющая право на существование: корень мог быть заимствован из тюркских языков. В некоторых тюркских наречиях «возген» или близкие звучания означают «пахарь», «земледелец». В таком случае фамилия могла принадлежать выходцу из татарских или башкирских служилых людей, которые переходили на русскую службу и получали фамилии по прозвищам. Однако суффикс -чик в этом контексте сбивает с толку: для тюркских основ в русских фамилиях типичнее -ов/-ев напрямую (Возгенов), а не через уменьшительно-профессиональную форму.

Написание фамилии через «г» могло закрепиться случайно: при записи в метрических книгах или при переезде в другую губернию писарь мог записать фамилию на слух, а потом она так и осталась. Географически Возгенчиковы встречаются точечно — в основном в Поволжье и на Урале, где смешение русских, татар и башкир было обычным делом. Сословная принадлежность, скорее всего, крестьянская или мещанская: фамилия не дворянская, не образована от имени святого.

Итог простой: если вы Возгенчиков, ваши предки с высокой вероятностью были людьми, чья работа была связана с огнём — кузнецами, истопниками или мастерами по металлу. А написание с «г» — это либо местная особенность говора, либо ошибка писаря, которая стала фамилией.