Фамилия Вретикова — вариант женского рода от Вретиков, и её происхождение неочевидно даже для подготовленного читателя. Разберём по косточкам.

Основа фамилии — «вретик». В современном русском языке такого слова нет, но в древнерусском и церковнославянском «вретище» означало грубую, рубищную одежду, мешковину, власяницу. «Вретик» — уменьшительная форма от «врето» (старая форма слова «вретище»). Получается, что прозвище Вретик могли дать человеку, который носил такую одежду: либо бедняку, либо монаху-аскету, либо ремесленнику, работавшему с мешковиной (например, портному, торговавшему дешёвым тряпьём). Второй вариант: прозвище могло быть ироничным — так называли неряху или того, кто ходил в рванье.

Суффикс -ов (в мужском роде Вретиков) указывает на типичную русскую модель образования от прозвищ или имён, оканчивающихся на согласный. Это фамилия-притяжательное: «чей?» — «Вретиков», то есть сын или потомок Вретика. В северных и центральных губерниях России такие фамилии были особенно распространены.

Географически фамилия редкая. Встречается в основном в центральной России, возможны следы в бывших вотчинах монастырей, где слово «вретище» имело хождение. В документах XVII–XVIII веков могли фиксировать как Вретиков, так и Вретищев, но форма с суффиксом -ик закрепилась реже.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» подобные основы не разбираются отдельно, но модель с уменьшительным суффиксом -ик описана: она характерна для прозвищ, возникших в бытовой среде (ср. Котик, Топик, Веник). Вретик — из того же ряда, хоть и с мрачноватым оттенком.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из крестьянской или посадской среды, где прозвища давали по одежде или занятию. Дворянских родов с такой фамилией в истории не зафиксировано.