Фамилия Вяжлинская — довольно редкая и прозрачная по происхождению. Её основа почти наверняка связана с географическим названием: топонимы Вяжля, Вяжлинка или подобные встречаются в центральной России. Например, в Тамбовской области есть река Вяжля, а в Рязанской — населённый пункт Вяжли. Житель такого места получал прозвище «Вяжлинский», то есть «из Вяжлей». Фамилия закрепилась в форме прилагательного с суффиксом -ск-, который в русской ономастике типичен для дворянских или польских фамилий, но в XIX веке стал массовым и у крестьян, особенно после отмены крепостного права, когда многим давали фамилии по названию деревни.

Корень «вяж-» вызывает вопросы. Самое прямое объяснение — от диалектного слова «вязь» (топь, болото, вязкое место). Река Вяжля в Тамбовской области протекает по низинам, и название могло отражать характер местности: вязкий, илистый берег. Менее вероятна связь с глаголом «вязать» (как вязать снопы или сети) — для этого нет убедительных параллелей в гидронимии. Версия с болотом выглядит естественнее: многие русские речки и села получили имена по признаку топкого, неудобного берега.

Суффикс -ин- в середине слова (Вяжл-ин-ская) — редкая деталь. Обычно фамилии на -ский образуются напрямую от основы: Вяжлинский означало бы «из Вяжли», а Вяжлинская — та же форма, но в женском роде. Однако написание с двойным «н» (Вяжлинская) закрепилось в документах, возможно, под влиянием канцелярской нормы XIX века, где фамилии на -ский часто писали с двумя «н» по аналогии с прилагательными.

Сословная принадлежность предков Вяжлинских не определена однозначно. Фамилия могла возникнуть как у однодворцев (государственных крестьян южных губерний), так и у мелкопоместных дворян, чьё поместье называлось Вяжли. Встречаемость фамилии в современных архивах невысока, что говорит о локальном происхождении — скорее всего, из одной-двух деревень Тамбовской или Рязанской губернии.

Коротко: Вяжлинская — «та, что из Вяжлей». Предки жили у речки или в селе с болотистой, вязкой почвой. Фамилия редкая, без громких исторических носителей, но с ясной топонимической основой.