Фамилия Вязинкина — женская форма фамилии Вязинкин, и начинать её разбор стоит с мужского варианта. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Вязь, Вязка, а точнее — уменьшительная форма Вязинка. Корень здесь — «вяз-», который в русских говорах имел два совершенно разных значения. Первое и самое очевидное — дерево вяз, то есть прозвище могли дать человеку крепкому, коренастому, «вязкому» (сравните с фамилиями Берёзкин, Осинин). Второе значение — глагол «вязать» и всё, что с ним связано: вязальщик сетей, плёл корзины, делал веники, или просто человек, который «вяжется» — пристаёт, навязчив. В старых псковских и тверских говорах «вязинка» — это и есть связка, пучок (например, лыка), что указывает на ремесленное происхождение.

Словообразовательная модель типична для русского севера и центра: суффикс -ин- указывает на принадлежность («чей сын?» — Вязинкин, то есть сын Вязинки). Сама основа Вязинка — это уже вторичное образование от Вязя через суффикс -к- (как Ивашка от Иван). Таким образом, фамилия прошла две ступени уменьшения: Вязь → Вязинка → Вязинкин. Такая цепочка характерна для неофициальных, бытовых имён, которые давали в деревне, а не в церкви.

Географически фамилия Вязинкин (и Вязинкина) редкая, но встречается преимущественно в Поволжье и на Урале, особенно в Пермском крае и Кировской области. Это косвенно подтверждает связь с ремеслом: в этих регионах было развито вязание сетей, плетение лаптей и корзин. Вязинкины могли быть потомками крестьян-кустарей, которые жили обособленными семьями и передавали прозвище по наследству.

С точки зрения сословной принадлежности — это стопроцентно крестьянская фамилия. Дворянских родов с такой основой нет, и в дореволюционных списках «Вязинкины» почти всегда значатся как государственные или помещичьи крестьяне. Интересно, что однокоренные фамилии Вязов, Вязьмин, Вязников встречаются чаще, а вот форма с суффиксом -инк- — редкость, что делает Вязинкиных носителями более локального, «гнездового» прозвища.

Если коротко: предок нынешних Вязинкиных был либо вязальщиком, либо плотным, коренастым человеком, которого в деревне звали Вязинка. Фамилия сохранила это прозвище в почти неизменном виде, пройдя через несколько столетий без переосмысления.