Фамилия Вязицкий — типичный пример «географической» фамилии, образованной по самой распространённой в шляхетской и духовной среде модели. Суффикс -цк-/-ск- указывает на связь с топонимом: такую фамилию давали человеку, владевшему поместьем или происходившему из места с названием Вязица, Вязь, Вязье. Основа «вяз-» здесь, скорее всего, не от дерева «вяз», а от древнерусского «вязь» — топь, болото, топкое место с вязким грунтом. Таких урочищ на северо-западе и в центре России было множество.

Наиболее вероятная географическая привязка — село Вязицы (или Вязицкий погост) в бывшей Псковской губернии, а также деревни с похожими названиями в Смоленской и Тверской областях. Фамилия Вязицкий — дворянская, польского или западнорусского происхождения (в старом написании Wiaźicki). В Речи Посполитой такие фамилии на -ский получали владельцы имений: «Вязицкий» буквально означало «тот, кто из Вязиц». После разделов Польши часть этого рода перешла в российское дворянство, и фамилия закрепилась в губерниях бывшего Великого княжества Литовского.

Интересная деталь: в отличие от однокоренных «Вяземский» (от города Вязьма) или «Вязников» (от жителя Вязников), фамилия Вязицкий указывает на конкретное мелкое поселение, а не на крупный город. Это говорит о том, что предок носителя был либо помещиком средней руки, либо — что встречается реже — выходцем из священнической семьи, где фамилию давали по названию прихода. Второй вариант стоит учитывать: в XIX веке многие выпускники духовных семинарий получали фамилии по названию церкви или села, где служил их отец.

Есть и более спорная версия — от прозвища «Вязица» (мастер по вязке, плетению, возможно, корзинщик или строитель плотов). Но она менее убедительна, потому что суффикс -ский в народной среде редко прикрепляли к ремесленным прозвищам: скорее получилась бы фамилия Вязников или Вязкин. Так что основной путь — географический, и искать корни фамилии стоит на карте Псковщины или Смоленщины.