Фамилия Вязовченко — одна из тех, что ведут в прошлое не через имя или ремесло предка, а через место, где он жил. Скорее всего, её дали выходцу из населённого пункта с названием Вязовка. Таких на карте бывшей Российской империи было немало: местечко в Киевской губернии Черкасского уезда, два села в Саратовской губернии, село в Астраханской, а ещё речка Вязовка на Урале, приток Каслинских озёр. Название и поселений, и речки — от дерева вяз, которое издавна ценилось за гибкую и прочную древесину, шедшую на полозья, ободья и детали машин. Логика простая: в той местности, откуда пошёл род, росли вязы, что и закрепилось в топониме, а потом и в фамилии.

Суффикс -ченко в фамилии — характерный признак украинской или южнорусской модели образования. В отличие от великорусских фамилий на -ов/-ев, которые часто указывают на принадлежность («чей?»), фамилии на -енко в XVII–XVIII веках активно формировались на землях, входивших в Речь Посполитую и Гетманщину, и означали «сын такого-то» или «выходец оттуда-то». Вязовченко — это, по сути, «человек из Вязовки». Изначально так могли назвать одного человека, переселившегося в другое село или город, а за его потомками прозвище закрепилось уже как фамилия.

Косвенно эту версию подтверждают записи из Книги памяти Саратовской области. Там упоминаются Вязовченко Василий Васильевич (1901 года рождения) и Вязовченко Иван Федорович (1913 года) — оба уроженцы села Шумейка, которое находилось в Терновском районе (кантоне) АССР Немцев Поволжья. Сама Шумейка стоит недалеко от Саратова, а рядом — те самые сёла с названием Вязовка. Так что связь прослеживается довольно прямая: предки этих людей, скорее всего, переселились из ближней Вязовки в соседнее село, а фамилию сохранили.

Менее вероятная, но возможная версия — что в основе лежит не топоним, а прозвище Вяз или Вязок. В диалектах вязом могли назвать высокого, худощавого или, наоборот, упрямого человека (по ассоциации с гибкостью и крепостью дерева). Однако модель Вязовченко — производное именно от притяжательного прилагательного «Вязов» (Вязов сын) с наращением -ченко, что типично для «географических» фамилий. Прямых прозвищных фамилий на -ченко от названий деревьев без топонимической прослойки в украинской ономастике почти не встречается, поэтому версия с Вязовкой выглядит убедительнее.

Коротко: фамилия Вязовченко — типичная «топонимическая» украинская фамилия, образованная по модели «название села + суффикс -ченко». Носители фамилии, скорее всего, происходят из одного из сёл или местностей под названием Вязовка, которых особенно много в Поволжье и на юге России.