Фамилия Выгивская — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы разобраться, нужно отбросить привычную логику, где корень сразу бросается в глаза. В основе здесь не глагол «выгибать» и не слово «выга» (такого в русском языке нет). Ключ к разгадке — суффикс и региональная огласовка.

Фамилия образована по типичной для польских, украинских и белорусских земель модели на -ский/-цкий, которая в женском роде даёт окончание -ская. Мужской вариант — Выгивский. Эта модель указывала на принадлежность к месту или роду, часто — на дворянское происхождение. Корень «Выгив-» скорее всего является адаптированной на слух формой топонима. В польском языке есть слово «wygibać» (изгибать, извиваться), но в данном случае правдоподобнее географическая версия: название населённого пункта вроде Выгиба, Выгово или Выгів. В Западной Украине и Беларуси встречаются сёла с похожими названиями, где «и» могло перейти в «ы» под влиянием местных говоров.

Вторая, менее вероятная, но допустимая версия — происхождение от прозвища Выгива или Выгив. Так могли назвать человека с характерной походкой, изогнутой осанкой или того, кто занимался изготовлением дуг, коромысел, колёсных ободьев — то есть «выгибал» дерево. Но суффикс -ский в таком случае нетипичен для русского простонародья: крестьяне чаще получали фамилии на -ов или -ин. Поэтому Выгивские, скорее всего, были либо выходцами из шляхты, либо переселенцами, чью фамилию «ополячили» при записи в документы.

Встречаемость фамилии крайне низкая. Основной ареал — западные регионы современной Украины, а также среди потомков эмигрантов первой волны. Если ваши предки носили фамилию Выгивская, имеет смысл искать не в общерусских списках, а в метрических книгах Волынской, Подольской или Киевской губерний XIX века — там могло быть село, давшее начало роду.