Фамилия Янжишка — редкая, и её разбор сразу ставит вопросы. Она не похожа на стандартные русские фамилии на -ов, -ин или -ский. Первое, что бросается в глаза: окончание -ишка. В русском языке суффикс -ишк- обычно придаёт слову уменьшительно-пренебрежительный оттенок (домишко, парнишка). Но в фамилиях он почти не встречается, и это наводит на мысль, что перед нами не исконно русская, а адаптированная фамилия.

Вероятнее всего, основа Янжи- восходит к личному имени или прозвищу. Самый прямой путь — к бурятскому или калмыцкому имени Янжи, которое является краткой формой от Янжима (санскритское имя, связанное с богиней Сарасвати, покровительницей мудрости и искусства). В буддийской традиции это имя широко распространено у народов, исповедующих ламаизм: бурят, калмыков, тувинцев. Тогда суффикс -шка — это не русский «уничижительный» суффикс, а русское окончание, которое приставили при русификации: из Янжи сделали Янжишка по аналогии с другими фамилиями, оканчивающимися на согласный (ср. Гришка от Григорий, но здесь имя на гласный, поэтому добавили целый слог). То есть фамилия означает «сын (или потомок) Янжи» и закрепилась в формах документов.

Менее вероятная, но возможная версия — польское или белорусское происхождение. Там есть фамилии с суффиксом -ишко (Янчишко, Павлишко), образованные от имён на Ян (Ян — Иван). Янжишка могла возникнуть как вариант от Ян + суффикс -ишк-, но тогда ожидалось бы Янчишка, а не Янжишка. Звук «ж» (вместо «ч») чаще указывает на восточное влияние.

Географически фамилия Янжишка встречается в Забайкалье и Бурятии — это подтверждает связь с бурятскими именами. Носители фамилии, скорее всего, потомки бурят или калмыков, получивших русские фамилии при крещении или при записи в метрики. В дворянских или купеческих родословных эта фамилия не отмечена — её социальная среда, как правило, крестьянская или казачья.

Итак, главный ответ: Янжишка — это русифицированная фамилия от бурятского имени Янжи, означающего «мудрая» или «связанная с богиней знаний». Предки носителя, вероятно, были бурятами или калмыками, а фамилию записали по отцу или деду, добавив русское окончание.