Фамилия Яьпольский — редкий и неочевидный случай даже для специалиста по русским фамилиям. В академических словарях (Унбегаун, Никонов) она не фиксируется, что сразу указывает на её позднее происхождение или сильное искажение при записи. Вероятнее всего, перед нами опечатка или диалектное произношение фамилии Ямпольский.

Если отбросить версию ошибки переписчика, то основа «Яьполь» не имеет смысла ни в одном из славянских языков. Суффикс -ский типичен для шляхетских (польских, украинских, белорусских) и русских дворянских фамилий, образованных от названий местностей. В норме такая фамилия должна была бы звучать как Ямпольский (от города Ямполь — таких топонимов несколько на Украине и в Подолье) или Яблоновский (от «яблоня»). Твёрдый знак (ь) в середине корня — явный признак дореволюционной орфографии или неграмотной записи: в XIX веке букву «ять» или мягкий знак могли писать по слуху, не понимая этимологии.

Таким образом, носитель фамилии Яьпольский почти наверняка потомок того, чью фамилию при переписи или в метрической книге исказили до неузнаваемости. Если же фамилия подлинная, то её основа могла быть связана с редким прозвищем «Яполь» (возможно, от диалектного «япать» — хватать, брать) или с названием населённого пункта вроде Яполь (например, в бывшей Гродненской губернии). Но в любом случае, географически фамилия тяготеет к западным регионам Российской империи — современной Беларуси, Украине или Польше.

Искать однокоренные фамилии бесполезно: Яьпольский стоит особняком. Единственный способ проверить происхождение — обратиться к метрическим книгам XIX века по конкретной губернии, где жили предки, и посмотреть, не писали ли их как Ямпольские или Яблонские.