Фамилия Яслык — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы понять, откуда она взялась, нужно разобрать её по составу и посмотреть на географию. Корень здесь — «ясл-», а суффикс «-ык» характерен для тюркских языков, где он образует имена и прозвища (сравните: Каблук, Чубук, Тюлька). Это сразу подсказывает, что фамилия могла возникнуть в среде, где русский язык смешивался с тюркскими наречиями, — например, на юге России, в Поволжье или среди казачества.

Самая прямая версия — от слова «яслык», которое в тюркских языках (крымскотатарском, кумыкском, ногайском) означает «подушка» или «изголовье». Прозвище Яслык мог получить человек, который торговал подушками, изготавливал их или, что более вероятно, имел привычку спать на чём-то мягком, возможно, был сонливым. В русских говорах слово «яслы» или «ясли» — это кормушка для скота, но фамилия Яслык к «яслям» вряд ли относится: суффикс «-ык» для русского словообразования нехарактерен, а вот для тюркского — в самый раз.

Есть и другая, менее очевидная версия. В некоторых диалектах «яслык» могло быть вариантом слова «ясак» — дань, подать. Но это спорно: звуковой переход «с» в «ш» или «к» в «л» нестандартен. Поэтому основной версией остаётся прозвище по бытовой детали — «подушка». Фамилия Яслык не имеет суффикса -ов/-ин, что говорит о её относительно позднем закреплении (скорее всего, в XIX веке) и о том, что носители могли быть из мещан или крестьян, а не из дворян, которые обычно получали фамилии по отцу.

Географически фамилия встречается в основном в южных регионах России: в Волгоградской, Ростовской областях, в Краснодарском крае, а также среди украинских казаков. Единичные носители есть и в Сибири, куда фамилию могли занести переселенцы. Сравните с однокоренными фамилиями: Яслыков (с русским суффиксом) — она встречается чаще и указывает на ту же основу, но уже обрусевшую. Яслык же сохранила тюркский облик, что делает её ценной для этимологов.

Итог: фамилия Яслык, скорее всего, произошла от прозвища, данного по предмету обихода — подушке, и указывает на тюркские или смешанные корни предков. Это не дворянская, а народная фамилия, которая хорошо сохранилась в казачьей среде.