Фамилия Яснитский — типичный пример фамилии на -ский, которая в русской традиции чаще всего указывает на географическое происхождение. Такие фамилии образовывались от названий населённых пунктов: села, деревни, местечка. Носитель фамилии Яснитский, скорее всего, был выходцем из места, называвшегося Ясное, Ясная, Ясничи или Ясница. Подобных топонимов на восточнославянских землях немало: сёла Ясное есть в Беларуси, на Украине и в России (например, в Курской области). Корень «ясн-» здесь связан со значением «ясный, светлый, открытый» — возможно, селение получило имя из-за расположения на возвышенности, без леса, или из-за чистого, прозрачного водоёма.

Модель образования фамилии — типично дворянская или шляхетская. В Российской империи фамилии на -ский/-цкий первоначально закреплялись за польской и малороссийской шляхтой, а также за духовенством (семинарские фамилии). Однако для Яснитского второй вариант маловероятен: семинарские фамилии часто образовывали от церковных праздников или латинских корней, а «ясный» — слишком простой, бытовой корень. Скорее всего, предок Яснитских был мелким помещиком или однодворцем, владевшим землёй в селе Ясном, либо крестьянином, переселившимся в город и записавшимся по месту выхода.

Суффикс -ит- в основе (Яснит-ский, а не Ясн-ский) встречается реже. Он мог возникнуть из топонима Ясница (сравните: Полоцк — Полоцкий, но Ясница — Яснитский), либо из формы притяжательного прилагательного «ясничий» (то есть относящийся к кому-то по имени Ясна). В любом случае, фамилия не массовая: она редка и компактно бытует в центральных и южных регионах России, а также в восточной Беларуси.

В словарях Б. Унбегауна или В. Никонова Яснитский не числится среди хрестоматийных примеров, что подтверждает её локальный характер. Если ваш предок носил эту фамилию, стоит искать его корни на карте XIX века: вероятнее всего, он происходил из деревни с названием Ясная или Ясници, которая могла исчезнуть или переименоваться в советское время.