Фамилия Яунюс — редкий для России пример литовской модели образования, пришедшей с запада. В отличие от большинства русских фамилий на -ов/-ев или -ин, здесь работает иная схема: основа плюс типичный литовский суффикс -юс (в литовском языке -ius). Этот суффикс часто оформлял прозвища или именования по характерному признаку, иногда с уменьшительным или уничижительным оттенком.

Корень фамилии — литовское слово jaunas, что значит «молодой». Исходное прозвище Jaunius или Jaunius давали младшему в семье, подростку или человеку, который выглядел моложе своих лет. В литовской ономастике такие прозвища были распространены: они указывали на возрастное положение в роду, а не на профессию или место жительства. По модели образования фамилия Яунюс стоит в одном ряду с литовскими фамилиями вроде Будрюс (от budrus — бодрый) или Кайрюс (от kairys — левша).

Встречается фамилия преимущественно в западных регионах России — Калининградской области, а также в Литве и среди литовской диаспоры. В XIX веке, после отмены крепостного права, многие литовцы переселялись в Сибирь и на Дальний Восток, поэтому единичные носители могут встречаться и там. Сословная принадлежность предков была крестьянской или мещанской: в Литве фамилии на -юс не носили дворяне, которые оформляли свои прозвища на -ас или -ис.

Спорных версий у фамилии нет: корень прозрачный, литовская этимология не вызывает сомнений. Русская адаптация могла дать варианты написания Яуниус или Яунис, но форма Яунюс сохранила исходное окончание. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были литовцами или выходцами из исторической Литвы, а прозвище досталось от самого молодого члена семьи — того, кого так и звали «младшенький».