Фамилия Заиюльева — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а календарный месяц. Разбирать её стоит с конца, с суффикса: -ев указывает на принадлежность (чей? — Заиюльев), а -а — женский вариант фамилии. Мужская форма, соответственно, Заиюльев. Такая модель образования типична для русских фамилий, возникших от прозвищ или отчеств, но здесь отчество было бы невозможно — в святцах нет имени Июль.

Скорее всего, предок получил прозвище Заиюль. Что оно могло значить? Самый прямой путь — человек, родившийся в июле. В крестьянской среде, где фамилии часто давали по именинам или по времени появления на свет, подобные прозвища были не редкостью: Заянварь, Заиюнь, Заисентябрь. Приставка за- здесь не предлог, а часть прозвища, которая могла означать «рождённый за месяцем» или просто усиливать связь с месяцем (ср. Заиван, Заигнатий — от имён).

Есть и вторая, менее очевидная версия. В некоторых говорах слово «июль» могло использоваться как прозвище для медлительного, «жаркого» человека или, наоборот, для того, кто работал в страдную пору. Но она слабее: для таких качеств в русском языке существовали более ходовые прозвища (Лентяй, Жар, Страдник). Версия с месяцем рождения выглядит правдоподобнее ещё и потому, что фамилия географически привязана к центральным и северным областям России — там, где церковные записи вели аккуратно, а прозвища по времени рождения фиксировали чаще.

Обратите внимание на суффикс -ев, а не -ов. В русской ономастике это указывает на основу, оканчивающуюся на мягкий согласный или на -й. Июль — слово с мягким знаком на конце, отсюда и форма Заиюльев, а не Заиюлев (последняя была бы ошибочной, хотя в устной речи встречается). По сословной принадлежности предки Заиюльевых, скорее всего, были государственными или помещичьими крестьянами — фамилия не дворянская, не купеческая, а именно народная, возникшая в XVIII–XIX веках, когда крестьянам массово начали давать фамилии по прозвищам.