Фамилия Заковеря — редкий случай, когда прозвище почти полностью сохранилось в фамилии без изменений, лишь обрастав суффиксами. В её основе лежит глагол «заковерять» или «заковырять», что в русских говорах означало «запутать, сделать неясным, испортить, изломать». Человек по прозвищу Заковеря — это тот, кто всё делает не так, как надо, путает, каверкает, или же, напротив, сам настолько хитёр и изворотлив, что его не разберёшь. В любом случае, прозвище было дано за манеру поведения или работы.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: основа «заковер-» восходит к тому же корню, что и «каверза» (козни, крючкотворство) и «коверкать». Суффикс «-я» в русских прозвищах типичен для характеристики человека по действию: например, Заика, Вертя, Гуля. Фамилия образована путём простого перехода прозвища в наследственное имя без дополнительных патронимических суффиксов (вроде -ов или -ин), что встречается в основном у украинских и южнорусских фамилий. Именно поэтому Заковеря — это не «сын Заковери», а сам Заковеря.

Географически фамилия тяготеет к югу России и Украине. Встречается в реестрах казачьих родов, а также в документах Харьковской и Полтавской губерний XIX века. Там прозвище могло закрепиться за человеком, который «заковырял» работу — сделал кое-как, наспех, или же за спорщиком, который «заковыривал» в споре, то есть запутывал собеседника. Версия с украинским влиянием усиливается тем, что в украинском языке есть слово «заковеря» — «закорючка, загогулина», что тоже могло стать прозвищем для сутулого или хитроватого человека.

В отличие от фамилий с прозрачными основами вроде Кузнецов или Попов, Заковеря — яркий пример так называемых «говорящих» фамилий, где прозвище не столько указывало на профессию, сколько на характер или привычку. Такие фамилии редко давали в официальных переписях, они чаще бытовали в устной среде и закреплялись за одной семьёй стихийно. Поэтому носителей фамилии немного, и она хорошо сохранила свой первоначальный, некабинетный смысл.