Фамилия Заовиышма — один из тех редких случаев, когда написание говорит о происхождении громче, чем звучание. В ней отчетливо слышен иноязычный субстрат, и, скорее всего, перед нами не славянская, а финно-угорская или тюркская фамилия, русифицированная на письме.

Разберем ее по частям. Основа «Заовиыш» или «Заовыыш» не имеет корней в русских говорах. Наиболее вероятная версия — искаженное коми-пермяцкое или удмуртское имя или прозвище. В языках этих народов часты сочетания «Зав», «Зыв», «Ыш». Например, «Зыв» может означать «звук», «голос», а «ыш» — суффикс принадлежности. Тогда имя могло означать «имеющий громкий голос» или «поющий». Окончание «-ма» — типичный финно-угорский показатель, часто встречающийся в фамилиях на Севере и в Предуралье (сравните с коми фамилиями Парма, Козьма, хотя последнее и заимствовано). В тюркских языках «ыш» — это «дым», «пар», но сочетание с начальным «Заов» для тюркских фамилий нетипично.

Вторая версия, менее правдоподобная, но возможная при сильном искажении: фамилия могла возникнуть от прозвища «За овин» или «За овсом» (человек, живущий за овином или торгующий овсом), но тогда написание было бы другим — Заовинский, Заовсов. Сочетание «ыш» в середине русского слова почти не встречается, это верный признак заимствования. Скорее всего, при переписи крестьян в XIX веке писарь, не зная местного языка, записал сложное имя на слух, втиснув его в привычную русскую форму с окончанием «-а». Поэтому географию фамилии стоит искать в Пермском крае, Республике Коми или Удмуртии, где подобные ойконимы и антропонимы не редкость.

Социальный контекст, скорее всего, крестьянский: носитель фамилии был из государственных или удельных крестьян Северного Прикамья или Вятки. Сословной элиты среди Заовиышм быть не могло — фамилия слишком редкая и не вписывается в модели дворянских родов. В современном русском языке фамилия склоняется как существительное женского рода: нет Заовиышмы, дать Заовиышме.