Фамилия Заросинская — женская форма фамилии Заросинский, и её происхождение почти наверняка связано с географическим названием. Модель на -ский/-цкий в русских фамилиях указывает на дворянское или шляхетское происхождение, но не обязательно: в XIX веке такие фамилии активно давали в духовных училищах и семинариях, а также получали крестьяне после отмены крепостного права, если их записывали по названию родной деревни.

Основа «Заросин-» восходит к названию населённого пункта — скорее всего, села или усадьбы вроде Заросино или Заросье. Такие топонимы в свою очередь образованы от слова «роса» с приставкой «за-»: «заросинский» буквально — тот, кто живёт за росой, то есть за местом, где обильно выпадает роса (низина, луг у реки). Возможна и более прозаическая версия: личное прозвище Зароса — так могли назвать человека, который вставал затемно, когда ещё роса, или, наоборот, косил по росе.

С географией сложно: фамилия редкая, в массовых списках XIX века почти не встречается. Если это польский вариант (с -ский), то корень мог быть и «Zarosie» — селения с таким названием есть в Подляшье и на Волыни. В русском контексте фамилия могла возникнуть в северо-западных губерниях (Псковской, Смоленской) или в Беларуси, где типичны названия на -ино/-ино.

Интересная деталь: ударение может падать на второй слог (Заро́синская) или на третий (Зароси́нская) — в зависимости от местной традиции. Первый вариант ближе к топонимической норме, второй — к фамильной, но единого правила нет.

Если исходить из суффикса, то фамилия Заросинский — типичная «географическая» фамилия, которую носил либо помещик (владелец сельца Заросино), либо священник, получивший её при поступлении в семинарию по месту рождения. Крестьянский вариант был бы скорее Заросин или Заросинов.