Фамилия Завяковский — один из тех случаев, когда польская или западнорусская модель образования на -ский встречается с корнем, который может удивить. Вопреки интуиции, она не связана напрямую с глаголом «завякать» (заговорить, зазвенеть) — у этого слова слишком узкое диалектное хождение и неясная семантика для фамилии. Куда вероятнее, что в основе лежит топоним — название населённого пункта Завяково или Завяковка. Такие деревни и хутора встречались на территории современных Беларуси, Украины и западных областей России. Человек, переселившийся оттуда, получал прозвание «Завяковский» — то есть «тот, кто родом из Завякова».

Сама основа «Завяк-» может восходить к личному имени или прозвищу Завяк. В древнерусских говорах «завякать» иногда значило «заикаться» или «мямлить» — так могли прозвать неспешного, косноязычного человека. Однако это лишь одна из гиподигм; более прозаичная версия — от названия речки или оврага, где водилось много вязов (сравните с фамилией Вязовский). Приставка «за-» в топонимике часто указывает на положение «за чем-то»: за вязовой рощей, за вязким болотом.

Суффикс -ский (польск. -ski) в этой фамилии — не дворянский маркер, как часто думают, а типичный для шляхты и крестьян западных губерний Российской империи. В XIX веке многие белорусские и украинские крестьяне при получении паспортов или при переходе в православие «подгоняли» свои прозвища под панский образец, добавляя -ский к основе. Так Завяк становился Завяковским. Фамилия довольно редкая: в современных базах данных она фиксируется в основном в Беларуси (Минская, Гродненская области) и на приграничных территориях России (Смоленщина, Брянщина). Встречаются и варианты написания с одной «з» — Завяковский, но это скорее ошибка переписчиков, чем отдельная ветвь.

Если у ваших предков было имение или чин, то Завяковские могли быть обедневшей шляхтой, закрепившейся на одном хуторе. Но чаще — это фамилия крестьянская, возникшая от названия места, где семья жила поколениями. Никакого тайного смысла в ней нет: просто «человек из Завякова».