Фамилия Завязскин — одна из тех, что сразу приковывает внимание необычным звучанием и редким корнем. Она образована по продуктивной модели с суффиксом -ин, который в русских фамилиях указывает на принадлежность: «чей?» — Завязскин, то есть сын или потомок Завязского. Но здесь кроется первая загадка: основа «Завязск-» сама по себе является притяжательным прилагательным, что делает фамилию как бы «двойной» по происхождению. Скорее всего, перед нами типичный случай, когда фамилию дали не напрямую от прозвища, а от географического названия — села, деревни или урочища с именем Завязка, Завязки или Завязское.

Корень «вяз-» в русской топонимике встречается нередко. Он может восходить к слову «вяз» — дерево, но чаще в названиях поселений он связан с глаголом «вязать»: «завязка» — место, где что-то завязывают, перевязывают, или же болотистая, топкая местность, где ноги «вязнут». В говорах «завязь» также могла означать начало, завязку дела или событий. Таким образом, Завязскин — это человек, чьи предки жили в населённом пункте, названном по такому признаку: либо на вязком, топком месте, либо у переправы, где вязали плоты, либо в селе, которое было «завязкой» — началом какой-то территории.

Фамилия крайне редкая. В отличие от массовых Завязкиных (от прозвища Завязка), форма на -скин указывает на более позднее, «дворянское» или «шляхетское» происхождение: так часто оформляли фамилии выходцы из западнорусских земель, где были распространены топонимические фамилии на -ский. Не исключено, что предок Завязскина носил фамилию Завязский, а уже его сын или внук, попав в другую социальную среду, «обрусел» и получил суффикс -ин, чтобы фамилия звучала привычнее для великорусского уха. Встречаются единичные носители в центральных областях России, но массового распространения фамилия не получила — она осталась локальной, возможно, связанной с одной крестьянской или мещанской семьёй.

С точки зрения словообразования, Завязскин стоит в одном ряду с такими редкими фамилиями, как Дубовскин, Озерскин, Горскин — все они образованы от прилагательных на -ский с добавлением -ин. Это говорит о том, что первоначальная фамилия (Завязский) могла принадлежать человеку, владевшему землёй или служившему в тех местах, но со временем её «опростили» до более рядового патронима. Правдоподобнее всего выглядит версия о происхождении от названия деревни Завязка (такие встречаются в бывших Смоленской и Калужской губерниях), где жили крестьяне, которых в документах записали по месту жительства, а затем их дети получили фамилию через суффикс -ин.