Фамилия Завюялова — женская форма от Завюялов, и её основа ставит перед исследователем сразу несколько загадок. Первое, что бросается в глаза: в русском языке нет глагола «завюять» или существительного «завюй». Это значит, что корень фамилии — не от прямого действия, а от прозвища, которое возникло в живой разговорной речи и записалось на слух.

Самая вероятная версия связывает фамилию с диалектным или просторечным словом «вьюн». Вьюном в разных регионах называли не только рыбу, но и проворного, увертливого человека, того, кто «вьётся» вокруг дела или умеет выкручиваться из сложных ситуаций. Приставка «за-» в таком прозвище могла означать «тот, кто за вьюном», то есть ушедший за ним, следующий за ним — либо, что правдоподобнее, усиливать значение: «завьюн» — очень ловкий, изворотливый. Форма «Завюялов» — это вариант с характерным для народного произношения смягчением или яканьем: «вьюн» превратилось в «вюя», а суффикс «-лов» указывает на принадлежность: «сын Завюяла».

Суффикс «-лов» в русских фамилиях встречается реже, чем стандартные «-ов» или «-ин». Он характерен для прозвищ, образованных от глагольных форм (например, Пугало — Пугалов, Крутило — Крутилов). В случае с Завюяловым мы видим ту же модель: прозвище Завюяло (или Завьюяло) — от «завьюнить» (закрутить, заплести). Так могли прозвать человека с вихлявой походкой, непоседу или того, кто путал следы.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным областям России, где диалектное «вьюн» в значении «вертлявый» было в ходу. Встречается она нечасто, и это дополнительный аргумент в пользу её прозвищного, а не «именного» происхождения: если бы в основе лежало крестильное имя, вариантов было бы больше. Скорее всего, первый Завюял получил своё прозвище в среде крестьян или посадских людей, где меткое слово закреплялось за человеком прочнее, чем официальное имя.

Таким образом, фамилия Завюялова — не про «вьюгу» и не про «завывание», а про живую народную характеристику: предок носителя был человеком подвижным, ловким, возможно, с хитрецой, и окружающие запомнили его именно по этому качеству.