Фамилия Заявленских — редкий пример «застывшей» формы родительного падежа множественного числа с окончанием -их (-ых). В русской ономастике такие фамилии называют «архангельскими» или «северорусскими»: они типичны для бывших новгородских земель, северных областей России, а также для Сибири, куда переселенцы унесли эту модель. Суффикс -ских указывает на принадлежность к роду или местности: буквально «из рода Заявленских» или «выходцы из Заявленского».

Основа фамилии — «Заявлен-». Сразу напрашивается связь с глаголом «заявить» или существительным «заявление», но едва ли предки были профессиональными заявителями. Скорее, корень восходит к топониму — названию населённого пункта вроде Заявленье, Заявленское, Заявленка. Такие названия в России встречаются редко, но они есть: например, деревня Заявленье в Вологодской области или хутор Заявленский в Ростовской области. Значит, фамилия могла закрепиться за переселенцами из конкретного места: «он из Заявленского» — «Заявленских».

Версия с прозвищем тоже возможна, но менее вероятна. В говорах слово «заявленный» иногда употреблялось в значении «заметный, видный» или, наоборот, «заранее объявленный, известный». Однако прозвища редко давали в такой грамматической форме — обычно они переходили в фамилии через суффиксы -ов или -ин. Форма на -их/-ых почти всегда указывает на родовую или географическую принадлежность.

Социально фамилия Заявленских не привязана к дворянству или духовенству. Это крестьянская или мещанская фамилия, возникшая в среде, где фамилии только начинали закрепляться — в XVII–XIX веках. В современных базах данных она встречается единично, преимущественно в Архангельской, Вологодской областях и в Забайкалье, что подтверждает её северное происхождение.

Однокоренные фамилии — Заявленский, Заявленцев, Заявленко — встречаются чаще, но форма Заявленских сохраняет архаичную падежную конструкцию, которую в XIX веке постепенно вытесняли стандартные -ов/-ев. Носители этой фамилии, скорее всего, потомки жителей одного из редких селений с корнем «заяв-», чья родовая память сохранила точное указание на место выхода.