Фамилия Жиюк — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы понять корень, нужно отбросить привычную модель «основа + суффикс -ов/-ин». Здесь работает другая, западноукраинская и белорусская словообразовательная схема: суффикс -ук/-юк. В восточнославянской ономастике этот суффикс чаще всего указывает на «малого» или «сына»: Иван — Иванюк, Петр — Петрюк. Соответственно, Жиюк — это «сын Жия» или «маленький Жий».

Что такое «Жий»? Это прозвище или имя, которое могло возникнуть от глагола «жить» (то есть «живущий», «живой», «бойкий»). В украинских и белорусских говорах есть слово «жий» — «жизненный», «проворный». Вторая версия — связь с диалектным «жий» как формой повелительного наклонения («живи!»), но это менее вероятно. Третья, более спорная: основа может восходить к польскому «żywy» (живой) или «życie» (жизнь). Но в любом случае прозвище было положительным — его давали человеку энергичному, подвижному, может быть, тому, кто умел быстро восстанавливаться после болезней или лишений.

Географически фамилия тяготеет к западным регионам Украины (Волынь, Подолье) и югу Беларуси (Брестчина). Там суффикс -юк встречается часто, а фамилии на -юк обычно носили крестьяне и мещане — дворянство предпочитало формы на -ский. В документах XIX века Жиюки могли записывать как Жиюк, реже — Жийук, но без «и» краткого (Й) написание устойчивое.

Однокоренных фамилий мало: Жий, Жиенко, Жива, но Жиюк стоит особняком из-за редкого сочетания корня и суффикса. Это не адаптация иностранной фамилии — русский язык не даёт очевидного праславянского слова «жий» в литературной норме, поэтому фамилия осталась локальной и не «обрусела» через окончание -ов. Если ваш предок носил Жиюк, скорее всего, он происходил из западнорусских земель, где «жий» было понятным прозвищем, а не загадкой.