Фамилия Зилибобиков — из тех, что вызывают улыбку и недоумение даже у носителей языка. На слух она кажется шуточной или сказочной, но за ней стоит реальная и довольно редкая словообразовательная модель. В русской ономастике это пример так называемой «искусственной» или прозвищной фамилии, где основа — не имя и не профессия, а экспрессивное, часто звукоподражательное или ироничное прозвище.

Разбираем по частям. Корень «зилибоб-» явно не славянского происхождения и не имеет прямого словарного значения. Скорее всего, это переосмысление тюркского или иного восточного слова, которое в русском языке превратилось в комичное прозвище. Например, в тюркских языках есть корни «зиль» (колокольчик, звон) и «боб» (бобовое зерно, либо звук удара). Вместе они могли означать что-то вроде «звенящий боб» или «пустозвон» — прозвище болтливого или несерьёзного человека. Вторая версия: «зилибобка» — диалектное название какой-нибудь мелкой безделушки, бирюльки или игрушки-погремушки. Тогда Зилибобиков — потомок мастера, делавшего такие вещицы, или просто человека, которого дразнили за любовь к пустякам.

Суффикс «-ик» в основе (Зилибоб-ик) — уменьшительно-уничижительный, характерный для прозвищ: «зилибобик» — маленький, несерьёзный, суетливый человечек. А фамильный суффикс «-ов» стандартно указывает на принадлежность: «сын Зилибобика». Таким образом, фамилия образована не от имени, а от прозвища в уменьшительной форме, что для русских фамилий XVII–XIX веков редкость: обычно брали прямое прозвище (Зилибоб → Зилибобов). Форма на «-иков» говорит о том, что прозвище успело «обкататься» в быту как самостоятельное слово.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и волжским регионам, где было сильное тюркское влияние. Встречается она крайне редко — единичные семьи, в основном на Урале и в Сибири, куда переселенцы уходили в XVII–XVIII веках. Сословно предки Зилибобиковых, скорее всего, были государственными или экономическими крестьянами, реже — мещанами. Никаких дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Сравните с однокоренными, но ещё более редкими формами: Зилибобов, Зилибобкин. Первая — более прямая, «взрослая» (от прозвища без уменьшительного суффикса), вторая — ещё более ласкательная. Ваш вариант — «Зилибобиков» — самый распространённый среди этих трёх, но в целом по России фамилия остаётся экзотикой. Если вы её носитель, то, скорее всего, ваши предки жили в глухой деревне, где прозвище закрепилось за родом из-за какой-то яркой черты характера или внешности далёкого пращура.