Фамилия Звершхановский — редкий случай, когда суффикс -ский не указывает на польское или украинское происхождение, а скорее маскирует сложную основу. В этой фамилии сразу два корня, и второй из них — «хан» — обычно сразу бросается в глаза. Однако начинать разбор стоит с первого корня.

Основа «Зверш» (или «Зверж») восходит к древнерусскому глаголу «зьрѣти» (зреть, смотреть, видеть) или к его производным. В восточнославянских говорах «зверша́ть» означало «завершать, оканчивать», а «зверши́ть» — «свершить, исполнить». Но в контексте фамилии убедительнее версия, связывающая «Зверш» с прозвищем Зверша — человека зоркого, наблюдательного, или того, кто «свершал» (решал) важные дела. Второй корень — «хан» — мог добавиться к прозвищу уже после того, как человек побывал в ордынских землях или имел дело с татарской знатью. В XV–XVI веках на южных и восточных рубежах Руси слово «хан» входило в состав личных прозвищ, обозначая либо службу у хана, либо внешнее сходство с ним (например, суровый нрав).

Сам суффикс -ский в фамилиях такого типа часто указывает на прозвищное происхождение: «Звершхановский» — буквально «сын того, кого звали Звершхан». То есть перед нами не топонимическая фамилия (от названия села), а патронимическая, образованная от составного прозвища. Такая модель встречается реже, чем простые фамилии на -ов, и характерна для мелкопоместной шляхты или казачества, где ценилась многословная, «героическая» форма имени.

Географически фамилия почти не встречается в современных базах данных, что говорит о её крайней редкости. Возможно, она существовала в узком локальном ареале на юге России или в Белоруссии, где смешивались славянские и тюркские элементы. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были служилыми людьми на границе степи — казаками или детьми боярскими, получившими прозвище за связь с татарским миром. Ударение, судя по структуре, падает на третий слог: Звершхано́вский.