Фамилия Звихачевская — редкий пример фамилии, образованной от топонима с помощью суффикса -евск-, что указывает на принадлежность к определённому месту. В основе лежит название населённого пункта вроде Звихачево, Звихачи или Звихачевка. Такие фамилии на -ский/-ской в старину получали дворяне по названию своего поместья, но с XVIII–XIX веков их активно перенимали и выходцы из духовенства (семинаристы) и мещане, особенно в западных губерниях Российской империи.

Корень «звих-» неочевиден и вызывает споры. Наиболее правдоподобная версия связывает его с диалектным глаголом «звихать» — в ряде говоров это означало «сбивать с толку», «кружить», «шатать». Прозвище Звихач могли дать человеку непоседливому, суетливому или тому, кто «сбивал с пути» других — например, смутьяну или хитрому торговцу. Менее вероятно, хотя и возможно, что основа восходит к древнерусскому «звихъ» — «изгиб», «кривизна», что могло относиться к извилистой реке или кривой дороге, давшей имя деревне.

С точки зрения словообразования, фамилия следует стандартной модели: топоним на -ево/-ино → притяжательное прилагательное на -евск- → фамилия на -ая. Женская форма Звихачевская, а мужская — Звихачевский. Встречается фамилия крайне редко, преимущественно у носителей, чьи предки происходили из бывших польских или белорусских земель (Могилёвская, Витебская губернии), где суффикс -евск- был особенно распространён.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Звихаев, Звиханов — подтверждает, что основа «звих-» имела хождение в северо-западных диалектах, но в форме на -ский она закрепилась именно как указание на родовое гнездо. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать не просто прозвище, а конкретную деревню или хутор с похожим названием — скорее всего, уже исчезнувшие с карты.