Фамилия Абинашенко — один из тех случаев, где украинская словообразовательная модель накладывается на основу, в которой могут скреститься славянские и тюркские корни. Суффикс -енко здесь ключевой: в украинской ономастике он работает как патронимический, то есть означает «сын» или «потомок». Дословно Абинашенко — «сын Абинаша». Всё, что до суффикса, и есть главная загадка.

Самая правдоподобная версия ведёт к тюркскому имени Абинас (или Абынас). В тюркских языках «абы» значит «старший», «уважаемый», «дед», а «нас» — «человек». Вместе получается что-то вроде «почтенный старец». В среде запорожских казаков и черноморских переселенцев, где славянские и тюркские элементы переплетались, такие имена-прозвища встречались постоянно. Менее вероятно, что основа восходит к библейскому имени Авинадав в сокращённой народной форме — для украинской ономастики это нетипично, хотя полностью исключать нельзя.

Географически фамилия редкая. Её ядро — южные и центральные области Украины, особенно исторические Полтавщина и Черкащина. В России она попадается единично, чаще всего в Краснодарском крае и Ростовской области — регионах, куда в XVIII–XIX веках массово переселялись малороссы. Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка происходил из казачьей или крестьянской среды левобережной Украины.

Обратите внимание на написание: норма — Абинашенко с буквой «и», не «Абонашенко». В старых метрических книгах могла мелькнуть двойная «н» (Абинашеннко) — это следы канцелярской ошибки или влияния польской орфографии, но нормативным считается одно «н».