Фамилия Абинсков — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Сразу заметен суффикс -ск- в сочетании с окончанием -ов: такая модель типична для русских фамилий, образованных от географических названий. Но если искать корень в «Абинск», то древнерусских городов или сёл с таким именем не было. Самое прямое объяснение — топоним Абинск, город в Краснодарском крае. Однако он получил статус города только в 1963 году, а до этого был станицей Абинской, основанной в XIX веке. Значит, фамилия, если она взята по месту жительства, молодая — не старше XIX–XX веков, и могла появиться у переселенцев на Кубань.

Есть и другая, более глубокая версия, уходящая в народную речь. В русских говорах слово абин означало «обиняк», «намёк» или «околичность» — от глагола «обинуться», то есть уклониться, сказать намёком. Человек с прозвищем Абин — хитрец или дипломат, говорящий обиняками. Тогда Абинсков — это «сын Абина», потомок такого человека. Сочетание суффиксов -ов и -ск- в этом случае могло быть вторичным: сначала возникла фамилия Абин (от прозвища), а затем, при переезде или из-за ошибки писаря, её «удлинили» до Абинсков. Такое встречалось в крестьянской среде — для благозвучия или случайно.

Третья версия — связь с адыгским или тюркским корнем. В адыгских языках есть слово «абын» — «лес». Но фамилии с таким корнем обычно оканчиваются на -ко (например, Абинко), а не на -сков. Поэтому эта гипотеза слабее двух первых.

География фамилии узкая. По данным переписей и телефонных справочников, Абинсковы встречаются почти исключительно в Краснодарском крае и Ростовской области. В центральных регионах России фамилия практически не фиксируется. Эта локализация косвенно поддерживает версию о связи с городом Абинском. Сословно носители — скорее всего, потомки казаков или крестьян, переселившихся на Кубань в XIX веке. Известных исторических деятелей с такой фамилией нет, что неудивительно для столь редкой и локальной фамилии.