Фамилия Ачаев — одна из тех, где короткая основа скрывает сразу несколько возможных корней, и без географии тут не разобраться. Начнём с самого простого: суффикс -ев указывает на отчество от имени или прозвища, которое оканчивалось на мягкий согласный или на -й. Основа «Ачай» или «Ача» — вот тут и начинаются варианты.

Самый прямой путь — от тюркского имени Ачай. В татарском, башкирском и других тюркских языках имя Ачай / Ача — это часто ласкательная или уменьшительная форма от более длинных имён, например от Ахмет, Абдулла или Асхат. Первый слог «ач» в некоторых диалектах означает «голодный» или «открывающий», но применительно к личному имени это скорее звуковой обрубок, а не прямое прозвище. В этом случае Ачаев — «сын Ачая», и фамилия указывает на происхождение от человека с таким именем. В Поволжье и на Урале, где татарское и русское население веками жило рядом, такие фамилии не редкость.

Другая, менее очевидная версия — от прозвища Ач. В некоторых русских говорах «ач» или «ача» могло означать человека нерасторопного, задумчивого или, наоборот, крикливого (от междометия «ач» — окрик). Но эта версия слабее: во-первых, такое прозвище почти не зафиксировано в письменных источниках, во-вторых, фамилия Ачаев встречается в основном в регионах с сильным тюркским влиянием — в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской области. Если бы корень был чисто русским, мы бы видели больше однофамильцев в центральных областях, а этого нет.

Встречается и третий вариант: от гидронима — названия речки Ачай. В России есть несколько мелких рек с таким именем, особенно в бассейне Камы. Но фамилии от названий рек обычно образуются через суффикс -ский (Ачайский), а не -ев. Так что эта версия скорее экзотическая, чем правдоподобная.

Что касается социального статуса первых носителей — данных нет. Фамилия не входит в списки дворянских родов, не встречается в старых боярских книгах. Скорее всего, Ачаевы — это крестьяне или мещане, получившие фамилию по отцу после отмены крепостного права или чуть раньше, в среде государственных крестьян Поволжья. Ясность могла бы внести перепись конкретного уезда, но без неё остаётся только гадать.

Коротко: Ачаев — отчество от тюркского имени Ачай или Ача. Фамилия крестьянская, бытует в Поволжье и Приуралье. Другие версии — от русского прозвища или от речки — маловероятны.